罗尔中值定理定理表述-财经墙

罗尔中值定理

罗尔中值定理是微积分学中的基本定理之一，常用于解决一元函数导数和积分之间的关系。该定理是由法国数学家米歇尔·罗尔在18世纪首次提出的。

罗尔中值定理的表述相对简单，说白了就是指如果一个函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上光滑，且在区间端点a和b处的函数值相等，那么在闭区间(a,b)内至少存在一点c，使得该函数在c处的导数等于零。

用公式表示为：

若f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f(a) = f(b)，则存在c∈ (a,b)，使得

f'(c) = 0

要理解罗尔中值定理的证明思路，可以从图形上考虑。假设在区间[a,b]上有一条连续光滑的曲线f(x)，且f(a)=f(b)。我们可以在曲线上找到两个点A和B，使得它们的切线斜率相等，即f'(A)=f'(B)。

因为f(x)在[a,b]上连续，在闭区间[a,b]内必然存在一个极值点或者最值点。如果该点处的函数导数不等于零，我们就可以按照中值定理的定义找到一个介于A和B之间的点C，使得f'(C)等于该导数，而此时C就成为了我们要找的那个点。

如果该点处的导数等于零，那么显然C就是我们需要证明的点。

罗尔中值定理在微积分学中有着广泛的应用，下面就举几个例子来说明它的具体运用。

例1

证明函数f(x)=x3-3x在区间[0,2]内至少存在一个零点。

解答：

f(0)=-3，f(2)=2，因此f(0)=f(2)。又有f(x)=3x2-3，因此f'(x)=6x-3。

由罗尔中值定理可知，在开区间(0,2)内至少存在一个点c，使得f'(c)=0。因此，由f'(x)=6x-3知，c=1/2。

因此，函数f(x)=x3-3x在区间[0,2]内至少存在一个零点，即x=?3。

例2

证明函数f(x)=2x-1-x-ln(x)在区间[1,2]内至少存在一个零点。

解答：

f(1)=-1，f(2)=1- ln(2)，因此f(1)=f(2)。又有f(x)=-1-ln(x)因此f'(x)=-1/x。

由罗尔中值定理可知，在开区间(1,2)内至少存在一个点c，使得f'(c)=0。因此，c=1。因此，函数f(x)=2x-1-x-ln(x)在区间[1,2]内至少存在一个零点，即x=1.因此，函数f(x)=2x-1-x-ln(x)在区间[1,2]内至少存在一个零点，即x=1。

通过罗尔中值定理的应用，我们可以快速地求出函数在某个区间内的零点，这对于求解实际问题中的最优解时非常有用。同时，罗尔中值定理也是后续微积分学习的基础，为我们打下了基础。