正弦定理

正弦定理是解决三角形中任意一边与其对角的关系的重要定理。该定理表明，任意一边的长度与其对角正弦值成比例，比例系数为三角形的周长的一半。

具体而言，若三角形的三边分别为$a$、$b$、$c$，则正弦定理可以表示为：

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=\frac{a+b+c}{2}$$

其中，$A$、$B$、$C$为三角形的三个内角。

正弦定理的应用非常广泛，特别是在解决实际问题中，例如已知一个角度和对边的长度，可以利用正弦定理求出斜边的长度。

余弦定理

余弦定理是解决三角形中任意一边与其对角的关系的另外一个重要定理。该定理表明，任意一边的长度与其余两边的长度及它们之间的夹角的余弦值有关。

具体而言，若三角形的三边分别为$a$、$b$、$c$，则余弦定理可以分为以下两种情况：

已知两边和夹角，求第三边的长度：

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$$

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$$

已知三边的长度，求角度：

$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$

$$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$$

$$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$

余弦定理的应用也很广泛，特别是在解决实际问题时，例如已知三条边的长度，可以利用余弦定理求出任意一个角度的大小。