积分中值定理

积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它建立了函数平均值与积分的联系，被广泛地应用于各个领域。积分中值定理是指，对于函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么必存在一个c∈[a,b]，使得f(c)等于区间[a,b]上f(x)的平均值。

定理的表述

积分中值定理有两种表述方式：

第一种

若连续函数f(x)在区间[a,b]上，则存在一个c∈[a,b]，使得

$$\int_a^b f(x)dx = f(c)(b-a)$$

第二种

若函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导，则存在一个c∈[a,b]，使得

$$\int_a^b f(x)dx = f(c)(b-a)$$

这两种表述并不是完全等价的，第二种表述是第一种表述的特例。

证明

我们使用第一种表述进行证明。假设连续函数f(x)在区间[a,b]上，则f(x)在[a,b]上满足达布条件（即存在一个划分，使得任意小的子区间上上下界之差的乘积之和小于等于任意给定正实数），那么对于该划分，假设上下界分别为M和m，则区间[a,b]上f(x)的平均值为

$$\frac{\int_a^bf(x)dx}{b-a}$$

由于f(x)满足达布条件，因此约特-黎曼积分和泌士米零宽积分相等，所以

$$\frac{\int_a^bf(x)dx}{b-a}=\frac{\sum_{i=1}^n(M_i-m_i)\Delta x_i}{b-a}$$

其中?xi为第i个子区间的长度，M和m分别为所有子区间的上下界中的最大值和最小值。我们将上式中的分式两侧乘以(b-a)，得到

$$\int_a^b f(x)dx = \frac{\sum_{i=1}^n(M_i-m_i)\Delta x_i}{b-a} \cdot (b-a) = \sum_{i=1}^n(M_i-m_i)\Delta x_i$$

然后我们将函数f(x)在子区间[a,b]上的范围与相应的Δxi相乘，然后将它们相加。由于f(x)满足连续性，所以在每个子区间内都存在一个点ci使得f(ci)等于该子区间上f(x)的平均值，那么

$$\sum_{i=1}^n(M_i-m_i)\Delta x_i = \sum_{i=1}^n f(c_i)\Delta x_i$$

将这个式子带入上式，得到

$$\int_a^b f(x)dx = \sum_{i=1}^n f(c_i)\Delta x_i$$

根据中值定理，对于每个子区间，必存在一个点ci使得

$$\int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x)dx = f(c_i)\Delta x_i$$

带入上式，得到

$$\int_a^b f(x)dx = \sum_{i=1}^n \int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x)dx$$

由于区间[a,b]上f(x)处处连续，所以根据四个区间定理，必存在一个点c∈(a,b)使得

$$f(c) = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx$$

因此，

$$\int_a^b f(x)dx = f(c)(b-a)$$

证毕。

应用

积分中值定理可以用于证明众多重要定理，如拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理等。同时它还可以用于求一些积分的值，只需要证明函数在某个点上的值即可。此外，积分中值定理还可以导出一些有趣的结论。

例如，我们可以使用积分中值定理来证明下面这个有趣的结论：

$$\int_0^1\sqrt{x}\sin(\pi x)dx=\frac{2}{\pi}$$

我们可以通过令f(x)=√xsin(πx)，然后应用积分中值定理即可证明该结论。

结论

积分中值定理在微积分中起着重要的作用，它建立了函数平均值与积分的联系，被广泛地应用于各个领域。通过使用积分中值定理，我们可以证明众多重要定理，求一些积分的值，以及导出一些有趣的结论。因此，掌握积分中值定理是微积分学习中必不可少的一部分。